методы решения логарифмических неравенств

Продолжаем повторять методы решения логарифмических неравенств. Следующая тема — сведение логарифмических неравенств к квадратным.

Когда в решении появляется модуль

Выражения с модулем нередко вызывают затруднения у учащихся.
В самих заданиях №15 КИМ ЕГЭ модуль почти не встречается в явном виде.

Однако он может появляться в процессе преобразований, например при применении свойств логарифмов или при работе с областью допустимых значений переменной.

Поэтому полезно рассмотреть несколько приёмов, которые позволяют избежать громоздкого раскрытия модуля и работы с совокупностями систем неравенств.

Замена логарифмического выражения (пример №4)

В некоторых заданиях логарифм встречается одновременно:

внутри модуля,
и в квадрате.

В такой ситуации удобно ввести замену логарифмического выражения в модуле. Поскольку квадрат логарифма и квадрат логарифма, взятого по модулю, дают одно и то же значение, после введения замены модуль фактически исчезает.

В результате исходное неравенство сводится к обычному квадратному, которое решается значительно проще.

Упрощение неравенств с модулем (пример №4)

Иногда после замены возникает простое неравенство с модулем. В такой ситуации не обязательно раскрывать модуль через совокупность систем.

Часто удобнее перейти к квадрату выражения и далее работать уже с обычным квадратным неравенством, используя стандартные приёмы его решения.

Использование ограничений из ОДЗ (пример №6)

Иногда знак выражения можно определить из области допустимых значений.

Например, один из логарифмов уже задаёт условие положительности подлогарифмического выражения. Тогда при снятии квадрата в другом месте решения знак выражения уже известен, что позволяет избежать появления модуля и упрощает дальнейшие преобразования.

Когда квадрат лучше оставить

Ещё один полезный приём показан в примере №12. Не всегда стоит спешить снимать степени в подлогарифмических выражениях.

Если выражение находится под логарифмом в модуле или в чётной степени, условия допустимости для них фактически совпадают: важно лишь, чтобы выражение не было равно нулю. Поэтому иногда удобнее оставить квадрат под логарифмом и не выполнять лишние преобразования — это делает решение короче и аккуратнее.

Дополнительный материал со всеми разобранными примерами и тестами можно найти в Теме 14 Логарифмические неравенства.

Мы в МАХ