Подготовка к ЕГЭ-2026. Задание 13. Логарифмические уравнения, сводящиеся к тригонометрическим

В заданиях №13 профильного уровня ЕГЭ иногда встречаются комбинированные уравнения, в которых логарифмическое выражение после преобразований приводит к тригонометрическому уравнению.

Такие задачи представлены:

• в реальных вариантах КИМ — №1, 2, 3, 7;
• в тренировочных работах Статград — №4, 5;
• в тематических сборниках — №6, 8, 9.

Ключевой методический вопрос при решении подобных уравнений — учёт ОДЗ (области допустимых значений).

1. Когда переход равносилен без явной записи ОДЗ

В уравнениях типа №1 и №2 формально требуется условие положительности подлогарифмического выражения.

Однако после преобразований:

• в первом случае подлогарифмическое выражение становится равным 1;
• во втором — (9^x).

Оба выражения положительны при всех допустимых значениях переменной.

Следовательно, переход от логарифмического уравнения к тригонометрическому является равносильным, даже если отдельно не выписывать условие положительности.

Обоснование: если правая часть равна положительному числу, то и левая часть логарифма определена и положительна. Требования ОДЗ автоматически выполнены.

2. Когда ограничения «не теряются»

В уравнениях №3 и №5 после введения замены ограничения на подлогарифмическое выражение сохраняются автоматически.

Поэтому:

• не требуется заранее указывать, что ( cos x > 0 ) (пример №3);
• не требуется заранее указывать, что ( sin x > 0 ) (пример №7).

В процессе решения получаются простейшие логарифмические уравнения, и переход к тригонометрическому также остаётся равносильным без отдельной записи ограничений.

3. Когда ОДЗ необходимо выписывать полностью

В уравнениях №4, 5, 6 при выборе способа решения через явную запись ОДЗ необходимо:

1. Выписать все ограничения, возникающие в уравнении.
2. Решить соответствующую систему неравенств.
3. Работать далее только в найденной области.

Методически важно: если ОДЗ записано, оно должно быть доведено до конца. Частичная запись без дальнейшей проверки решений считается логически незавершённой.

4. Рациональный приём: система «уравнение + условие»

Во многих случаях удобнее не решать отдельное тригонометрическое неравенство, а перейти к системе:

• уравнение-следствие;
• условие существования логарифма.

Например, в уравнении №6 после перехода к тригонометрическому достаточно указать условие
cos x > 0,5.

Далее:

1. Находим значения ( cos x ) из уравнения.
2. Подставляем их в неравенство.
3. Отбрасываем посторонние значения.

Таким образом, решать тригонометрическое неравенство отдельно не требуется.

5. Комбинированные уравнения вида «произведение равно нулю»

В уравнениях №8 и №9 применяется стандартный алгоритм:

A(x)*B(x)=0

Произведение равно нулю, если:

• либо A(x)=0 ,
• либо B(x)=0 ,

при обязательной проверке, что второй множитель определён.

Каждое полученное решение проверяется на принадлежность ОДЗ.

Методический вывод

При решении логарифмических уравнений, сводящихся к тригонометрическим:

• всегда анализируйте, сохраняется ли ОДЗ автоматически;
• если ОДЗ выписано — доводите его до конца;
• рационально использовать систему «уравнение + условие»;
• обязательно выполняйте проверку на посторонние корни.

Дополнительные материалы с подробными решениями и тренировочными заданиями см. в:

• Теме 13 Логарифмические уравнения;
• Теме 23 Задание №13. Профильный уровень. Уравнения.