Подготовка к ЕГЭ-2026.

Тема: Подготовка к Заданию 18. Общие корни целых рациональных уравнений с параметром

В заданиях КИМов ЕГЭ нередко встречаются рациональные уравнения 3-й или 4-й степени. Особых знаний для их решения не требуется. Степень уравнения понижается либо разложением на множители, либо заменой. То есть исходное уравнение сводится к решению совокупности нескольких уравнений 1-й или 2-й степени. И если вопрос задачи касается количества корней, то надо уметь находить совпадающие корни в совокупности.

Предложенная подборка заданий поможет учащимся овладеть этим приемом: находить общие корни целых рациональных уравнений.

В задании №1 коэффициенты квадратных уравнений подобраны таким образом, что их корни находятся по формулам через дискриминант.

А вот в задании №2 такой поход не срабатывает. Дискриминанты не сворачиваются в полные квадраты, и попытки учащихся выразить корни через выражение с радикалом, сводятся к решению тяжелых иррациональных уравнений. Если они не догадаются сами, то покажите им рациональный способ решения этого вопроса. Надо составить систему из данных уравнений. Ее решением является общий корень этих уравнений, выраженный через параметр. Остается только подставить это корень в одно из уравнений и получим искомые значения параметра. Задача не будет решена корректно, если не сделать проверку дискриминанта.

В уравнении №5 удобно воспользоваться формулами Виета.